置換公理
クラスが集合となるか、が議論されます。word(c,p) … \(\dot\exists\)
Exi. … \(\dot\exists C \Longleftrightarrow \exists X \, ( X = C )\)
集合の部分クラスは集合である、ことが要請されます。
word(c,p) … \(\text{ax_s}\)
ax_s. … \(\text{ax_s} ( C ) \Longleftrightarrow \exists X \, C \subset X \Rightarrow \dot\exists C\)
a 集合の大きさとベルンシュタインの定理
写像による大きさの比較
word(ss,p) … \(\stackrel{\#}=\) \(\stackrel{\#}\le\) \(\stackrel{\#}<\)=#. … \(X \stackrel{\#}= Y \Longleftrightarrow \exists f \, f \in X \stackrel{\rm IS}\to Y\)
le#. … \(X \stackrel{\#}\le Y \Longleftrightarrow \exists f \, f \in X \stackrel{\rm I}\to Y\)
<#. … \(X \stackrel{\#}< Y \Longleftrightarrow X \stackrel{\#}\le Y , X \stackrel{{\tt /}}{\stackrel{\#}=} Y\)
\(X \stackrel{\#}= Y\) のときXとYは同じ濃度、 \(X \stackrel{\#}< Y\) のときXよりYの方が大きいといいます。
ベルンシュタインの構成
word(s,s)R … \(\bigcap\)Cap. … \(C \neq \emptyset \Longrightarrow \bigcap C = \{ x \mid \forall B ( B \in C \Rightarrow x \in B ) \}\)
\(f \in X \stackrel{\rm I}\to Y , g \in Y \stackrel{\rm I}\to X\)
\(K = X \mathop\setminus \triangleright ( g )\)
\(C = \{ B \in \wp X \mid K \subset B , g ( f ( B ) ) \subset B \}\)
\(A = \bigcap C\)
\(A = K \cup ( g ( f ( A ) ) )\)
カントール＝ベルンシュタインの定理
カントール＝ベルンシュタインの定理\(X \stackrel{\#}\le Y , Y \stackrel{\#}\le X \Longrightarrow X \stackrel{\#}= Y\)
\(\blacktriangleleft\) W. ，Ax_s
b 冪集合とカントールの定理
対角線
カントールの定理\(X \stackrel{\#}< \wp X\)
\(\blacktriangleleft\) W. ，Ax_s