1 準備

素数 \(p\) が \(k^2\) を割れば \(k\) を割る（∣k）。\(d \mid v\) なら \(d \mid vw\)（∣M）。
∣k … \(p \in \mathbb{P} , k \in \mathbb{M} , p \mid k \cdot k \Longrightarrow p \mid k\) \(\blacktriangleleft\) \(\mathbb{W}.\) ，𝕄0s ，IND𝕄 ，suc𝕄 ，+𝕄 ，*𝕄 ，1.

2 主定理

共通の素因数を持たない \(v, w\) について、\(vw = k^2\) なら \(v\) は平方数（Sq）。\(v\) についての強い帰納法で示します。
\(v \ge 2\) なら素因数 \(p\) をとると、\(p \mid k\) で \(p \nmid w\) なので \(v = p^2 u\)・\(uw = j^2\)（Dn）。\(u < v\) なので \(u\) は平方数、よって \(v\) も。
Dn … \(p \in \mathbb{P} , v , w , k \in \mathbb{M} , p \mid v , \neg p \mid w , v \cdot w = k \cdot k \Longrightarrow \exists u \in \mathbb{M} . \exists j \in \mathbb{M} . v = ( p \cdot p ) \cdot u , u \cdot w = j \cdot j\) \(\blacktriangleleft\) \(\mathbb{W}.\) ，𝕄0s ，IND𝕄 ，suc𝕄 ，+𝕄 ，*𝕄 ，1.
Sq … \(v , w , k \in \mathbb{M} , v \cdot w = k \cdot k , \neg \exists q \in \mathbb{P} . q \mid v , q \mid w \Longrightarrow \exists n \in \mathbb{M} . v = n \cdot n\) \(\blacktriangleleft\) \(\mathbb{W}.\) ，𝕄0s ，IND𝕄 ，suc𝕄 ，+𝕄 ，*𝕄 ，1.