1 自然数と加法

1.1 記号

0以上の自然数\({\tt n}\)に対し
word(,s) … \({\tt n}\)
word(ss,s) … \(+\)  \(+\)
^*+. … \(X + b = \{ x + b \mid x \in X \}\)

1以上の自然数\({\tt n}\)に対し
\({\tt n}\). … \({\tt n} = ( {\tt n\,{\text -}\,1} ) + 1\)

1.2 帰納法

word(c,c) … \(\bigcap\)
⋂_. … \(\bigcap \mathcal{X} = \{ x \mid \forall X \in \mathcal{X} . x \in X \}\)
word(,c) … \(\text{Ind}\)
Ind. … \(\text{Ind} = \{ M \mid 0 \in M , M + 1 \subset M \}\)
word(,s) … \(\mathbb{M}\)
𝕄. … \(\mathbb{M} = \bigcap \text{Ind}\)
\(\mathbb{M} \in \text{Ind}\) \(\blacktriangleleft\) \(\mathbb{W}.\)

1.3 公理系①

Ax1 … \(1 \stackrel{\#}= \{ \emptyset \}\)
Ax+ … \(m , n \in \mathbb{M} \Longrightarrow m + n \in \mathbb{M} , m + n \stackrel{\#}= m \times \{ \emptyset \} \cup n \times \{ 1 \}\)

0=∅ … \(0 = \emptyset\) \(\blacktriangleleft\) \(\mathbb{W}.\) ，ax_s ，Ax1 ，Ax+
0≠1 … \(0 \neq 1\) \(\blacktriangleleft\) \(\mathbb{W}.\) ，ax_s ，Ax1 ，Ax+

\(n\) の外の点 \(x\) を足すと個数は1つ増える。
+1=# … \(n \in \mathbb{M} , x \notin n \Longrightarrow n + 1 \stackrel{\#}= n \cup \{ x \}\) \(\blacktriangleleft\) \(\mathbb{W}.\) ，ax_s ，Ax1 ，Ax+
交わらない \(m\) 個と \(k\) 個を合わせると \(m + k\) 個。
∪=#+ … \(X \cap Y = \emptyset , X \stackrel{\#}= m \in \mathbb{M} , Y \stackrel{\#}= k \in \mathbb{M} \Longrightarrow X \cup Y \stackrel{\#}= m + k\) \(\blacktriangleleft\) \(\mathbb{W}.\) ，ax_s ，Ax1 ，Ax+
個数の等しい自然数は等しい。
L=#𝕄 … \(m , n \in \mathbb{M} , m \stackrel{\#}= n \Longrightarrow m = n\) \(\blacktriangleleft\) \(\mathbb{W}.\) ，ax_s ，Ax1 ，Ax+
2つ目の集合に1点 \(w\) を足すと、全体にも1点を足したことになる。
+𝕄 … \(\begin{cases} m \in \mathbb{M} \Longrightarrow m + 0 = m \\ m , n \in \mathbb{M} \Longrightarrow m + ( n + 1 ) = ( m + n ) + 1 \end{cases}\) \(\blacktriangleleft\) \(\mathbb{W}.\) ，ax_s ，Ax1 ，Ax+

1.4 公理系②

Ax1 \(\blacktriangleleft\) \(\mathbb{W}.\) ，0=∅ ，+1=#
Ax+ \(\blacktriangleleft\) \(\mathbb{W}.\) ，ax_s ，0=∅ ，+1=# ，+𝕄

2 乗法など

2.1 乗法

word(ss,s) … \(\cdot\)
Ax⋅ … \(m , n \in \mathbb{M} \Longrightarrow m \cdot n \in \mathbb{M} , m \cdot n \stackrel{\#}= m \times n\)
\(x \notin n\) を1つとると \(n+1\) と \(n \cup \{x\}\) は個数が等しいので、\(m \times (n \cup \{x\}) = (m \times n) \cup (m \times \{x\})\) から \(m \cdot (n+1) = m \cdot n + m\)。
⋅𝕄 … \(\begin{cases} m \in \mathbb{M} \Longrightarrow m \cdot 0 = 0 \\ m , n \in \mathbb{M} \Longrightarrow m \cdot ( n + 1 ) = m \cdot n + m \end{cases}\) \(\blacktriangleleft\) \(\mathbb{W}.\) ，ax_s ，Ax1 ，Ax+ ，Ax⋅

2.2 べき

word(ss,s) … ↑
Ax↑ … \(m , n \in \mathbb{M} \Longrightarrow m ^ n \in \mathbb{M} , m ^ n \stackrel{\#}= n \to m\)
\(x \notin n\) のとき、\(n \cup \{x\}\) から \(m\) への写像 \(g\) は、\(n\) 上の部分 \(f\) と \(x\) での値 \(y\) の組 \((f, y)\) と1対1に対応する。
↑𝕄 … \(\begin{cases} m \in \mathbb{M} \Longrightarrow m ^ 0 = 1 \\ m , n \in \mathbb{M} \Longrightarrow m ^ { n + 1 } = ( m ^ n ) \cdot m \end{cases}\) \(\blacktriangleleft\) \(\mathbb{W}.\) ，ax_s ，Ax1 ，Ax+ ，Ax⋅ ，Ax↑

2.3 加法・乗法の法則

加法・乗法の交換・結合・分配の法則。

2.4 階乗

word(s,s) … \(!\)
Ax! … \(n \in \mathbb{M} \Longrightarrow n ! \in \mathbb{M} , n ! \stackrel{\#}= n \stackrel{\rm IS}\to n\)
\(z \in X\)・\(a \in Y\) のとき、\(z \mapsto a\) となる全単射 \(f\) は、\(f \setminus \{(z,a)\}\) で \(X \setminus \{z\}\) から \(Y \setminus \{a\}\) への全単射と1対1に対応する。
各 \(s \in S\) の \(c\) での値が \(Y\) の元で、値が \(a\) のもの全体がどの \(a \in Y\) でも \(q\) 個なら、\(S\) は \(q \cdot k\) 個（\(Y\) は \(k\) 個）。
\(X, Y\) が \(k+1\) 個のとき、\(z \in X\) の行き先 \(a \in Y\) ごとに数えると \(X \to_{\rm IS} Y\) は \(k! \cdot (k+1)\) 個。
階乗の漸化式。
!𝕄 … \(\begin{cases} 0 ! = 1 \\ n \in \mathbb{M} \Longrightarrow ( n + 1 ) ! = n ! \cdot ( n + 1 ) \end{cases}\) \(\blacktriangleleft\) \(\mathbb{W}.\) ，ax_s ，Ax1 ，Ax+ ，Ax⋅ ，Ax!