4 自然数の演算

4.1 加法

word(ss,s) … \(+\)  \(+\)  \(+\)  \(+\)
^*+. … \([+] \stackrel{\star\!\star}{=} \; [\stackrel{\text{^*}}{+}]\)
*^+. … \([+] \stackrel{\star\!\star}{=} \; [\stackrel{\text{*^}}{+}]\)
^^+. … \([+] \stackrel{\star\!\star}{=} \; [\stackrel{\text{^^}}{+}]\)
\(\{ 0 , 1 \} + 2 = \{ 2 , 3 \}\) となるべきです。
+𝕄 … \(\begin{cases} m \in \mathbb{M} \Longrightarrow m + 0 = m \\ m , n \in \mathbb{M} \Longrightarrow m + ( n \textit{+1} ) = ( m + n ) \textit{+1} \end{cases}\)
+∈𝕄 … \(m , n \in \mathbb{M} \Longrightarrow m + n \in \mathbb{M}\) \(\blacktriangleleft\) \(\mathbb{W}.\) ，ax_s ，+𝕄
+=# … \(c \neq d , m , n \in \mathbb{M} \Longrightarrow m + n \stackrel{\#}= \{ c \} \times m \cup \{ d \} \times n\) \(\blacktriangleleft\) \(\mathbb{W}.\) ，ax_s ，+𝕄
\(( \mathbb{M} , [+] ) :\underline{2}\mathsf{C}\mathsf{A}\) \(\blacktriangleleft\) \(\mathbb{W}.\) ，ax_s ，+𝕄
\(0 \in \text{unit} ( \mathbb{M} , [+] )\) \(\blacktriangleleft\) \(\mathbb{W}.\) ，ax_s ，+𝕄
⊂*^+ … \(i \in \mathbb{M} \Rightarrow \{ n \in \mathbb{M} \mid i \subset n \} = i + \mathbb{M}\) \(\blacktriangleleft\) \(\mathbb{W}.\) ，ax_s ，+𝕄

4.2 乗法

word(ss,s) … \(\cdot\)  \(\cdot\)  \(\cdot\)  \(\cdot\)
^*⋅. … \([\cdot] \stackrel{\star\!\star}{=} \; [\stackrel{\text{^*}}{\cdot}]\)
*^⋅. … \([\cdot] \stackrel{\star\!\star}{=} \; [\stackrel{\text{*^}}{\cdot}]\)
^^⋅. … \([\cdot] \stackrel{\star\!\star}{=} \; [\stackrel{\text{^^}}{\cdot}]\)
\(\{ 0 , 1 \} \cdot 2 = \{ 0 , 2 \}\) となるべきです。
*𝕄 … \(\begin{cases} m \in \mathbb{M} \Longrightarrow m \cdot 0 = 0 \\ m , n \in \mathbb{M} \Longrightarrow m \cdot ( n \textit{+1} ) = ( m \cdot n ) + m \end{cases}\)
⋅∈𝕄 … \(m , n \in \mathbb{M} \Longrightarrow m \cdot n \in \mathbb{M}\) \(\blacktriangleleft\) \(\mathbb{W}.\) ，ax_s ，+𝕄 ，*𝕄
⋅=# … \(m , n \in \mathbb{M} \Longrightarrow m \cdot n \stackrel{\#}= m \times n\) \(\blacktriangleleft\) \(\mathbb{W}.\) ，ax_s ，+𝕄 ，*𝕄
0⋅ … \(m \in \mathbb{M} \Longrightarrow 0 \cdot m = 0\) \(\blacktriangleleft\) \(\mathbb{W}.\) ，ax_s ，+𝕄 ，*𝕄
suc⋅ … \(m , n \in \mathbb{M} \Longrightarrow m \textit{+1} \cdot n = m \cdot n + n\) \(\blacktriangleleft\) \(\mathbb{W}.\) ，ax_s ，+𝕄 ，*𝕄
\(( \mathbb{M} , [\cdot] ) :\underline{2}\mathsf{C}\mathsf{A}\) \(\blacktriangleleft\) \(\mathbb{W}.\) ，ax_s ，+𝕄 ，*𝕄
\(1 \in \text{unit} ( \mathbb{M} , [\cdot] )\) \(\blacktriangleleft\) \(\mathbb{W}.\) ，ax_s ，+𝕄 ，*𝕄

4.3 べき

word(ss,s) … ↑
↑𝕄 … \(\begin{cases} m \in \mathbb{M} \Longrightarrow m ^ 0 = 1 \\ m , n \in \mathbb{M} \Longrightarrow m ^ { n \textit{+1} } = ( m ^ n ) \cdot m \end{cases}\)
↑∈𝕄 … \(m , n \in \mathbb{M} \Longrightarrow m ^ n \in \mathbb{M}\) \(\blacktriangleleft\) \(\mathbb{W}.\) ，ax_s ，+𝕄 ，*𝕄 ，↑𝕄