1 主定理

word(ss,s)F … \(\)
\(s(n)\) を初項 \(a\)、公比 \(r\) の等比数列の最初の \(n\) 項の和 \(a + ar + \cdots + ar^{n-1}\) とします。
ここでは \(s\) を \(s(0) = 0\) と漸化式 \(s(i+1) = s(i) + ar^i\) を満たす関数として仮定します（\(a\)・\(r\) は自然数）。そのような \(s\) が存在することは示しません。したがって主定理は「そのような \(s\) があれば」という条件付きの形です（\(s\) が無ければ何も言っていません）。
自然数には引き算が無いので、\((r-1)\,s(n) = a(r^n - 1)\) を両辺に \(s(n) + a\) を足した形 \(r\,s(n) + a = s(n) + ar^n\) で述べます（\(r = 1\) のときは \(s(n) = na\) を言わない点に注意）。
証明は \(n\) についての帰納法です。\(n = 0\) では両辺とも \(a\)。\(n\) から \(n+1\) へは \(r\,s(n+1) + a = (r\,s(n) + a) + ar^{n+1} = s(n) + ar^n + ar^{n+1} = s(n+1) + ar^{n+1}\)。
\(\begin{cases} a , r \in \mathbb{M} \\ s ( 0 ) = 0 \\ \forall i \in \mathbb{M} . s ( i \textit{+1} ) = s ( i ) + a \cdot r ^ i \end{cases} , n \in \mathbb{M} \Longrightarrow r \cdot s ( n ) + a = s ( n ) + a \cdot r ^ n\) \(\blacktriangleleft\) 𝕄0s ，IND𝕄 ，+𝕄 ，*𝕄 ，↑𝕄 ，1.