1 2の冪と奇数

\(2^a(2b+1)\) の形の表し方は1通り（Linj）。
Linj … \(a , b , c , d \in \mathbb{M} , 2 ^ a \cdot ( 2 \cdot b + 1 ) = 2 ^ c \cdot ( 2 \cdot d + 1 ) \Longrightarrow a = c , b = d\) \(\blacktriangleleft\) \(\mathbb{W}.\) ，𝕄0s ，IND𝕄 ，suc𝕄 ，+𝕄 ，*𝕄 ，↑𝕄 ，1. ，2.

2 有理数

2.1 順序対・写像

word(ss,s)F … \(\mathsf{pr}\)
abbr … \(\langle X , Y \rangle\) ≈ \(\mathsf{pr} ( X , Y )\)
word(s,s) … \(\triangleleft\)  \(\triangleright\)
◁. … \(\triangleleft \langle x , y \rangle = x\)
▷. … \(\triangleright \langle x , y \rangle = y\)
pr:0 … \(\langle x_{0} , y_{0} \rangle = \langle x_{1} , y_{1} \rangle \Longleftrightarrow x_{0} = x_{1} , y_{0} = y_{1}\) \(\blacktriangleleft\) \(\mathbb{W}.\)
word(ss,s) … \(\times\)
^^pr. … \(X \times Y = \{ \langle x , y \rangle \mid x \in X , y \in Y \}\)
\(X \to Y\) は \(X\) から \(Y\) への写像全体の集合、\(X \overset{S}{\to} Y\) は全射全体の集合。
word(ss,s) … \(\to\)  \(\stackrel{\rm S}\to\)
→. … \(X \to Y = \{ f \subset X \times Y \mid \forall x \in X . \exists! y \, \langle x , y \rangle \in f \}\)
→S. … \(X \stackrel{\rm S}\to Y = \{ f \in X \to Y \mid \forall y \in Y . \exists x \, \langle x , y \rangle \in f \}\)

2.2 整数と有理数

整数は自然数 \(n\) と \(-n\)、有理数は分数 \(a \div b\)（\(a\) は整数、\(b\) は 0 でない自然数）。
可算性には \(-\) と \(\div\) の性質（\(-0 = 0\) や約分など）は要らないので、何も仮定しません。
word(s,s) … \(-\)
word(ss,s) … \(/\)
word(,s) … \(\mathbb{Z}\)  \(\mathbb{Q}\)
ℤ. … \(\mathbb{Z} = \{ a \mid a \in \mathbb{M} \mathbin{\rm o\!r} \exists n \in \mathbb{M} . a = - n \}\)
ℚ. … \(\mathbb{Q} = \{ a / b \mid a \in \mathbb{Z} , b \in \mathbb{M} , b \neq 0 \}\)

3 主定理

自然数 \(k\) を \(2^m(2n+1)\) と表し（表し方は1通り＝Linj）、\(m\) の偶奇で整数の符号を決めて、\(k\) に有理数 \(\pm i \div (n+1)\)（\(m = 2i\) なら \(+\)、\(m = 2i+1\) なら \(-\)）を対応させる。\(k = 0\) は \(0 \div 1\) に送る。
どの有理数 \(a \div b\) も、\(b = n+1\)、\(a = i\) なら \(m = 2i\)、\(a = -i\) なら \(m = 2i+1\) として値に現れるので、この対応は全射。
\(\exists f \, f \in \mathbb{M} \stackrel{\rm S}\to \mathbb{Q}\) \(\blacktriangleleft\) \(\mathbb{W}.\) ，ax_s ，𝕄0s ，IND𝕄 ，suc𝕄 ，+𝕄 ，*𝕄 ，↑𝕄