1 主定理

\(a^2 + b^2 = c^2\) で \(a, b\) が互いに素、\(b\) が偶数なら、\(a = m^2 - n^2\)・\(b = 2mn\)・\(c = m^2 + n^2\) となる自然数 \(m, n\) がある。自然数には引き算が無いので \(a = m^2 - n^2\) を \(a + n^2 = m^2\) と書きます。
証明：\(a \le c\) なので \(c = a + e\)。\(e^2 + 2ae = b^2\) から \(e\) は偶数で \(e = 2v\)、\(b = 2k\) とおくと \(v(v + a) = k^2\)。\(v\) と \(v + a\) は共通の素因数を持たないので、どちらも平方数 \(n^2\)・\(m^2\)（23-1 の Sq）。
\(a , b , c \in \mathbb{M} , a \cdot a + b \cdot b = c \cdot c , \forall d \in \mathbb{M} . ( d \mid a , d \mid b \Longrightarrow d = 1 ) , 2 \mid b \Longrightarrow \exists m \in \mathbb{M} . \exists n \in \mathbb{M} . a + n \cdot n = m \cdot m , b = 2 \cdot ( m \cdot n ) , c = m \cdot m + n \cdot n\) \(\blacktriangleleft\) \(\mathbb{W}.\) ，𝕄0s ，IND𝕄 ，suc𝕄 ，+𝕄 ，*𝕄 ，1. ，2.