1 置換を動く点で分ける

置換 \(f\) の動く点の集合を \(M(f) = \{x \mid f(x) \neq x\}\) とする。\(M(f) = A\) となる置換は、\(f \setminus \mathrm{id}\) で \(A\) の完全順列と1対1に対応する（逆は \(g \mapsto g \cup \mathrm{id}_{N \setminus A}\)）。
動く点の集合は \(N\) の部分集合。
動く点が \(j\) 個の置換の全体 \(P\) は、動く点の集合（\(n\) の \(j\) 元部分集合）ごとに \(\mathrm{der}(j)\) 個ずつなので \(\mathrm{der}(j) \cdot n \mathrm{C} j\) 個（LΣg）。

2 主定理

どの置換も「動く点の集合（\(k\) 元）」と「その上の完全順列」の組に1通りに分かれるので、\(n! = \sum_{k=0}^{n} \mathrm{der}(k) \cdot n \mathrm{C} k\)（引き算の要らない形の包除）。置換を動く点の個数 \(k\) で分けて LΣg を使う。
\(n \in \mathbb{M} \Longrightarrow \sum_{ i \in ( 0 \mathinner{\ldotp\ldotp} n ) } \mathrm{der} ( i ) \cdot ( n \mathrm{C} i ) = n !\) \(\blacktriangleleft\) \(\mathbb{W}.\) ，ax_s ，Ax1 ，Ax+ ，Ax⋅ ，Ax! ，AxC ，AxD ，AxΣ