1 証明①（吸収の恒等式）

1.1 組合せの数の準備

組 \((A, a)\)（\(a \in A\)）を、\(0\) での値が \(a\)・\(1\) での値が \(A\) の集合 \(\{(0,a),(1,A)\}\) で表す。
\(1\) での値が \(A\) の組は \(A\) の元と1対1に対応する。
\(0\) での値が \(a\) の組 \(\{(0,a),(1,A)\}\) は、\(A \setminus \{a\}\)（\(X \setminus \{a\}\) の \(k\) 元部分集合）と1対1に対応する。
組 \((A, a)\) の全体を、\(A\) ごとに数えると \((k+1) \cdot {}_{n+1}\mathrm{C}_{k+1}\)、\(a\) ごとに数えると \({}_{n}\mathrm{C}_{k} \cdot (n+1)\)（吸収の恒等式）。
LAb … \(n \in \mathbb{M} , X \stackrel{\#}= n + 1 , k \in \mathbb{M} \Longrightarrow ( k + 1 ) \cdot ( ( n + 1 ) \mathrm{C} ( k + 1 ) ) = ( n \mathrm{C} k ) \cdot ( n + 1 )\) \(\blacktriangleleft\) \(\mathbb{W}.\) ，ax_s ，Ax1 ，Ax+ ，Ax⋅ ，AxC

1.2 階乗の式

\(n = k + m\) 元の集合の \(k\) 元部分集合の個数 \(n \mathrm{C} k\) は \(\dfrac{n!}{k!\,m!}\)。割り算を避けて \(n \mathrm{C} k \cdot (k!\,m!) = n!\) の形で、吸収の恒等式を \(k\) について繰り返して示す。
\(k , m \in \mathbb{M} \Longrightarrow ( ( k + m ) \mathrm{C} k ) \cdot ( k ! \cdot m ! ) = ( k + m ) !\) \(\blacktriangleleft\) \(\mathbb{W}.\) ，ax_s ，Ax1 ，Ax+ ，Ax⋅ ，AxC ，Ax!

2 証明②（Pascalの漸化式）

2.1 組合せの数の準備

1点を取り除くと個数は1つ減り（Lcan）、足すと1つ増える（Ladd）。
Lcan … \(Y \cup \{ a \} \stackrel{\#}= k + 1 , a \notin Y , k \in \mathbb{M} \Longrightarrow Y \stackrel{\#}= k\) \(\blacktriangleleft\) \(\mathbb{W}.\) ，ax_s ，Ax1 ，Ax+
Ladd … \(B \stackrel{\#}= k , k \in \mathbb{M} , a \notin B \Longrightarrow B \cup \{ a \} \stackrel{\#}= k + 1\) \(\blacktriangleleft\) \(\mathbb{W}.\) ，ax_s ，Ax1 ，Ax+

2.2 パスカルの漸化式

\(n \mathrm{C} k\) は \(n\) 個の集合の \(k\) 元部分集合の個数（AxC）。ここからパスカルの漸化式を導く。
空集合の \(k+1\) 元部分集合は無い。
\(n+1\) 個の集合 \(Y \cup \{x\}\)（\(x \notin Y\)）の \(k+1\) 元部分集合は、\(x\) を含まないもの（\(Y\) の \(k+1\) 元部分集合）と、\(B \cup \{x\}\)（\(B\) は \(Y\) の \(k\) 元部分集合）に分かれる。
\(x \notin Y\) なので \(B \mapsto B \cup \{x\}\) は単射で、2つの組は交わらない。
choose𝕄 … \(\begin{cases} n \in \mathbb{M} \Longrightarrow n \mathrm{C} 0 = 1 \\ k \in \mathbb{M} \Longrightarrow 0 \mathrm{C} ( k + 1 ) = 0 \\ n , k \in \mathbb{M} \Longrightarrow ( n + 1 ) \mathrm{C} ( k + 1 ) = n \mathrm{C} k + n \mathrm{C} ( k + 1 ) \end{cases}\) \(\blacktriangleleft\) \(\mathbb{W}.\) ，ax_s ，Ax1 ，Ax+ ，AxC

2.3 階乗の式

\(n = k + m\) 元の集合の \(k\) 元部分集合の個数 \(n \mathrm{C} k\) は \(\dfrac{n!}{k!\,m!}\)。割り算を避けて \(n \mathrm{C} k \cdot (k!\,m!) = n!\) の形で示す。
\(k > n\) なら \(n \mathrm{C} k = 0\)、\(n \mathrm{C} n = 1\)。
\(k , m \in \mathbb{M} \Longrightarrow ( ( k + m ) \mathrm{C} k ) \cdot ( k ! \cdot m ! ) = ( k + m ) !\) \(\blacktriangleleft\) \(\mathbb{W}.\) ，ax_s ，Ax1 ，Ax+ ，Ax⋅ ，AxC ，Ax!