1 準備

「\(n\) 個の集合の部分集合は \(2^n\) 個」を \(n\) についての帰納法で示す。最初のステップは次の定理である。
℘0# … \(\wp \emptyset \stackrel{\#}= 1\) \(\blacktriangleleft\) \(\mathbb{W}.\) ，Ax1

2 証明①

\(x \notin Y\) のとき、\(Y \cup \{x\}\) の部分集合は、\(x\) を含まないもの（\(\wp Y\) の元）と、\(A \cup \{x\}\)（\(A \subset Y\)）の形のものに分かれる。
2つは交わらず、\(A \mapsto A \cup \{x\}\) で後者は \(\wp Y\) と対等。よって \(Y\) が \(n\) 個で \(\wp Y\) が \(2^n\) 個なら \(\wp(Y \cup \{x\})\) は \(2^n + 2^n = 2^{n+1}\) 個。
\(X \stackrel{\#}= n \in \mathbb{M} \Longrightarrow \wp X \stackrel{\#}= 2 ^ n\) \(\blacktriangleleft\) \(\mathbb{W}.\) ，ax_s ，Ax1 ，Ax+ ，Ax⋅ ，Ax↑

3 証明②

℘1# … \(\wp \{ a \} \stackrel{\#}= 2\) \(\blacktriangleleft\) \(\mathbb{W}.\) ，ax_s ，Ax+ ，Ax1
交わらない \(X\), \(Y\) について \(C \mapsto (C \cap X, C \cap Y)\) は \(\wp(X \cup Y)\) から \(\wp X \times \wp Y\) への全単射。
℘∪ … \(X \cap Y = \emptyset \Longrightarrow \wp ( X \cup Y ) \stackrel{\#}= \wp X \times \wp Y\) \(\blacktriangleleft\) \(\mathbb{W}.\) ，ax_s
\(n + 1\) 個の \(X\) から1点 \(x\) を除くと \(n\) 個で、\(X = (X \setminus \{x\}) \cup \{x\}\) の部分集合は \(\wp(X \setminus \{x\}) \times \wp \{x\}\) と対等。
\(X \stackrel{\#}= n \in \mathbb{M} \Longrightarrow \wp X \stackrel{\#}= 2 ^ n\) \(\blacktriangleleft\) \(\mathbb{W}.\) ，ax_s ，Ax+ ，Ax1 ，Ax⋅ ，Ax↑