1 準備

word(,s) … \(\mathbb{M}\)  \(0\)
word(s,s) … \(\textit{+1}\)
word(s,s) … \(\hat{\textit{+1}}\)
^suc. … \(X \hat{\textit{+1}} = \{ n \textit{+1} \mid n \in X \}\)
word(,c) … \(\text{Ind}\)
Ind. … \(\text{Ind} = \{ M \mid 0 \in M , M \hat{\textit{+1}} \subset M \}\)
word(c,c) … \(\bigcap\)
⋂_. … \(\bigcap \mathcal{X} = \{ x \mid \forall X \in \mathcal{X} . x \in X \}\)
なお、このBookでは \(0\) と \(\textit{+1}\) の定義をしない（通常は \(0 = \emptyset\)、\(n\textit{+1} = n \cup \{n\}\) とされる）。

\(\mathbb{M}\) を最小の帰納的集合（\({\rm Ind}\) の共通部分）として定義する。
𝕄. … \(\mathbb{M} = \bigcap \text{Ind}\)
\(\mathbb{M} \in \text{Ind}\) \(\blacktriangleleft\) \(\mathbb{W}.\)

2 主定理

一項述語 \(p\) についての帰納法。\(A = \{m \in \mathbb{M} \mid p(m)\}\) とすると \(A\in{\rm Ind}\) であることからすぐにわかる。
\({p} ( 0 ) , \forall n \in \mathbb{M} . \, ( {p} ( n ) \Rightarrow {p} ( n \textit{+1} ) ) \Longrightarrow \forall n \in \mathbb{M} . \, {p} ( n )\) \(\blacktriangleleft\) \(\mathbb{W}.\) ，ax_s

3 74b.bookとの関連

クラス \(C\) についての帰納法も定理になる。\(A = \{m \in \mathbb{M} \mid m \in C\}\) とすると \(A\in{\rm Ind}\) であることからすぐにわかる。
IND𝕄 … \(0 \in C , \forall m \in \mathbb{M} . ( m \in C \Longrightarrow m \textit{+1} \in C ) \Longrightarrow \mathbb{M} \subset C\) \(\blacktriangleleft\) \(\mathbb{W}.\) ，ax_s