総合併、総共通部分
word(c,c) … \(\bigcup\) \(\bigcap\)def …【\(\bigcup {\sf X}\)】≃【\(\{ {\sf t} \mid \exists {\sf x} \in {\sf X} . {\sf t} \in {\sf x} \} \)】
def …【\(\bigcap {\sf X}\)】≃【\(\{ {\sf t} \mid \forall {\sf x} \in {\sf X} . {\sf t} \in {\sf x} \} \)】
\(\bigcap\emptyset\)【\(\bigcap \emptyset = \text{Set}\)】\(\,{\blacktriangleleft}\,\mathbb{D}.\)
word(s,s) … \(\bigcup\) \(\bigcap\)
\(\bigcup.\)【\(\bigcup X = \bigcup X\)】
\(\bigcap.\)【\(X \neq \emptyset \Longrightarrow \bigcap X = \bigcap X\)】
\(\cup_1\)【\(X = \bigcup \{ X \}\)】\(\,{\blacktriangleleft}\,\mathbb{D}.\)
\(\cap_1\)【\(X = \bigcap \{ X \}\)】\(\,{\blacktriangleleft}\,\mathbb{D}.\)
これも / D. で行けるように拡張したい。補題 \(\{X\} \neq \emptyset \) が必要。
\(\cup_2\)【\(X \cup Y = \bigcup \{ X , Y \}\)】\(\,{\blacktriangleleft}\,\mathbb{D}.\)
\(\cap_2\)【\(X \cap Y = \bigcap \{ X , Y \}\)】\(\,{\blacktriangleleft}\,\mathbb{D}.\)
集合は１点集合により分割されます。
\(\bigcup_1\)【\(X = \bigcup _{ x \in X } \{ x \}\)】\(\,{\blacktriangleleft}\,\mathbb{D}.\)
自然数
word(,s) … \(0\)\({0.}\)【\(0 = \emptyset\)】
1以上の自然数 \({\tt n}\) に対し word(,s) … \({\tt n}\)
\({\tt n}.\)【\({\tt n} = \{0,1,\cdots,{\tt n}{-}1\}\)】
自然数の全体
word(,s) … \(\mathbb{M}\) \(\mathbb{N}\)word(ss,s) … \(+\) \(\cdot\)
\(+1\)【\(m \in \mathbb{M} \Longrightarrow m + 1 = m \cup \{ m \}\)】
\(\cdot 1\)【\(m \in \mathbb{M} \Longrightarrow m \cdot 1 = m\)】
\(+換結\)【\(+ \cdots \text{換結}\)】
\(\cdot 換結\)【\(\cdot \cdots \text{換結}\)】
\(\mathbb{M}0\)【\(0 \in \mathbb{M} , \forall n \in \mathbb{M} . n + 1 \in \mathbb{M}\)】
\(\text{Ind}\)【\(0 \in X , \forall x \in X . x + 1 \in X \Longrightarrow \mathbb{M} \subset X\)】
\(\mathbb{M}0\)【\(0 \in \mathbb{M} , \forall n \in \mathbb{M} . n + 1 \in \mathbb{M}\)】
\(\mathbb{M}.\)【\(\mathbb{M} = \bigcap \{ M \mid 0 \in M , \forall m \in M . m + 1 \in M \} \)】
べき集合
word(s,s) … \(\wp\)\(\wp.\)【\(\wp X = \{ A \mid A \subset X \} \)】
\(\wp\emptyset\)【\(\wp \emptyset = \{ \emptyset \}\)】\(\,{\blacktriangleleft}\,\mathbb{D}.\)