set,classの関係
word(ss,p) … \(\subset\) \(=\)\(\subset.\)【\(X \subset Y \Longleftrightarrow \forall x \in X . x \in Y \)】\(\)
\(=.\)【\(X = Y \Longleftrightarrow \forall x \, ( x \in X \Leftrightarrow x \in Y )\)】\(\)
\({=}{.}{.}\)【\(X = Y \Longleftrightarrow X \subset Y \subset X\)】/\(\subset.\) /\(=.\) ◀ O
word(sc,p) … \(\subset\) \(=\)
def …【\({\sf X} \subset {\sf C}\)】=【\(\forall {\sf x} \in {\sf X} . {\sf x} \in {\sf C} \)】
def …【\({\sf X} = {\sf C}\)】=【\(\forall {\sf x} \, ( {\sf x} \in {\sf X} \Leftrightarrow {\sf x} \in {\sf C} )\)】
\(\text{SC}\)【\(X = \{ x \mid x \in X \}\)】◀ O
word(cc,p) … \(\subset\) \(=\)
def …【\({\sf C} \subset {\sf D}\)】=【\(\forall {\sf x} \in {\sf C} . {\sf x} \in {\sf D} \)】
def …【\({\sf C} = {\sf D}\)】=【\(\forall {\sf x} \, ( {\sf x} \in {\sf C} \Leftrightarrow {\sf x} \in {\sf D} )\)】
宇宙、空
word(,c) … \(\mathbb{V}\)def …【\(\mathbb{V}\)】=【\(\{ {\sf x} \mid \top \}\)】
\(\mathbb{V}0\)【\(x \in \mathbb{V}\)】◀ O
\(\mathbb{V}1\)【\(X \subset \mathbb{V}\)】◀ O
宇宙は全て含んでいます！？
空
word(,s) … \(\emptyset\)\(\emptyset.\)【\(\emptyset = \{ x \mid \perp \}\)】\(\)
\(\emptyset0\)【\(\neg ( x \in \emptyset )\)】/\(\emptyset.\) ◀ O
\(\emptyset1\)【\(\emptyset \subset X\)】/\(\subset.\) /\(\emptyset.\) ◀ O
\(\emptyset{.}{.}\)【\(x \ne \emptyset \Longleftrightarrow \exists y \, ( y \in x )\)】◀ \(=.\) \(\emptyset0\)
setになるclass
word(c,p) … \(\dot\exists\)def …【\(\dot\exists {\sf C}\)】=【\(\exists {\sf x} ( {\sf x} = {\sf C} )\)】
Russelのパラドクスが集合でないクラスの最初の例を与えます。
word(,c) … \(\mathbb{X}\)
def …【\(\mathbb{X}\)】=【\(\{ x \mid \neg ( x \in x ) \}\)】
\(\text{NS0}\)【\(\neg \dot\exists \mathbb{X}\)】◀ O
クラスの生成
abbr …【\(\{ {\sf T} \mid {\sf P} \}\)】=【\(\{ {\sf x} \mid {\sf x} = {\sf T} , {\sf P} \}\)】abbr …【\(\{ {\sf T} {\sf w} {\sf U} \mid {\sf P} \}\)】=【\(\{ {\sf T} \mid {\sf T} {\sf w} {\sf U} , {\sf P} \}\)】
最後は未完
2setの和、積、差
word(ss,s) … \(\cup\) \(\cap\)\(\cup.\)【\(X \cup Y = \{ x \mid x \in X \mathbin{\rm o\!r} x \in Y \}\)】\(\)
\(\cap.\)【\(X \cap Y = \{ x \mid x \in X \mathbin\& x \in Y \}\)】\(\)
\({\subset}\text{u}\)【\(X \subset Y \Longleftrightarrow X \cup Y = Y\)】/\(\subset.\) /\(=.\) /\(\cup.\) ◀ O
\({\subset}\text{a}\)【\(X \subset Y \Longleftrightarrow X \cap Y = X\)】/\(\subset.\) /\(=.\) /\(\cap.\) ◀ O
\(\setminus.\)【\(X \mathop\setminus Y = \{ x \mid x \in X \mathbin\& \neg ( x \in Y ) \}\)】\(\)
classの総和、総積
word(c,c) … \(\bigcup\) \(\bigcap\)def …【\(\bigcup {\sf C}\)】=【\(\{ {\sf x} \mid \exists {\sf y} \in {\sf C} . {\sf x} \in {\sf y} \}\)】
def …【\(\bigcap {\sf C}\)】=【\(\{ {\sf x} \mid \forall {\sf y} \in {\sf C} . {\sf x} \in {\sf y} \}\)】
word(s,s) … \(\bigcup\) \(\bigcap\)
\(\bigcup.\)【\(\bigcup X = \bigcup _{ x \in X } x\)】\(\)
\(\bigcap.\)【\(X \ne \emptyset \Longrightarrow \bigcap X = \bigcap _{ x \in X } x\)】\(\)
setとclassの共通部分
setとclassの共通部分は集合になります（分出公理）。が、word(sc,s)は作れません。word(sc,c) … \(\cap\)
def …【\({\sf X} \cap {\sf C}\)】=【\(\{ {\sf x} \in {\sf X} \mid {\sf x} \in {\sf C} \}\)】
無限個の公理が必要、なのが頭の痛い所です。
word(c,p) … \(\text{axs}\)
def …【\(\text{axs} ( {\sf C} )\)】=【\( ( {\sf X} \cap {\sf C} )\)】
\(\text{NS1}\)【\(\neg \dot\exists \mathbb{V}\)】◀ \(\text{axs} ( \mathbb{X} )\)
setの生成(外延記法)
1以上の自然数\({\tt n}\)に対しword(sの\({\tt n}\)個並べ,s) … \(\text{set}{\tt n}\) abbr … 【\(\{{\sf X}_1,\cdots,{\sf X_n}\}\)】=【\(\text{set}{\tt n} \, {\sf X}_1 \,\cdots \, {\sf X_n}\)】
\(\text{set}{\tt n}.【】\)
\{とs{はtex表記が同じ【\(\{\)】です。
これで \(\{x\in\mathbb{R} \mid x^2=1\}=\{1,-1\}\) という記述の準備ができました。なお「方程式 \(x^2=1\) の実数解は \(x=\pm1\)」というダサい言い方はしません。
!のdefは【\(!{\sf xP}\)】=【\(\{{\sf x} \,|\, {\sf P}\}\subset\{{\sf x}\}\)】